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浙江師范大學第五屆初等數學競賽

來源:互聯網 由 青青子衿文檔 貢獻 責任編輯:王小亮  

浙江師范大學第五屆初等數學競賽

暨浙江省教育局統一考試模擬試題

本試卷分為第Ⅰ卷(共50分)和第Ⅱ卷(共100分)兩部分,滿分150分,

考試時間為120分鐘,請在答題紙上作答,在試卷上作答無效。

第Ⅰ卷(共50分)

一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

(1)滿足M{a1, a2, a3, a4},且M∩{a1 ,a2, a3}={ a1·a2}的集合M的個數是

(A)1       (B)2 (C)3 (D)4

(2)設z的共軛復數是,或z+=4,z·=8,則等于

(A)1       (B)—i (C)±1 (D) ±i

(3)函數y=lncosx(-<x<)=的圖象是

(4)設函數f(x)=|x+1|+|x-a|的圖象關于直線x=1對稱,則a的值為

(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1

(5)已知cos(α-)+sinα=

(A)—  (B) (C)— (D)

(6)右圖是一個幾何體的三視圖,根據圖中數據,可得該幾何體的表面積是

(A)9π       (B)10π

(C)11π (D) 12π

(7)在某地的奧運火炬傳遞活動中,有編號為1,2,3,…,18的18名火炬手.若從中任選3人,則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數列的概率為

(A)                (B)

(C)               (D)

(8)(x-)12展開式中的常數項為

(A)-1320          (B)1320        (C)-220 (D)220

(9) 設橢圓C1的離心率為,焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標準方程為

(A) (B)

(C) (D)

(10)已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為

(A)10       (B)20        (C)30       (D)40

第Ⅱ卷(共100分)

二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。

(11)已知a,b,c為△ABC的三個內角A,B,C的對邊,向量m=(),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,則角B=     

(12) 在平面直角坐標系中,橢圓(a>b>0)的焦距為2c,以O為圓心,A為半徑作圓M,若過作圓M的兩條切線互相垂直,則橢圓的離心率是     .

(13)若不等式|3X-B|<4的解集中的整數有且僅有1,2,3,則b的取值范圍為     

(14)在平面直角坐標系xOy中,若D表示橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區域,E表示到原點的距離不大于1的點構成的區域,向D內隨機地投一點,則落在E中的概率    

(15)以下是有關新課程改革的命題,請判斷正誤。(每空1分)

1、新課程改革實際上就是新一輪的教材改革。( )

2、新課程改革的核心目的是培養全面發展的人。( )

3、新課程在小學階段是以分科課程為主,在初中階段是以綜合課程為主。( )

4、新課程把中小學教材由“國定制”改為“國審制”,形成了教材編寫、出版、選用混亂的局面,不利于教師把握教學和考試的標準。( )

5、《綱要》提出的要使學生“養成健康的審美情趣”的培養目標,只能在語文、美術、音樂課中才能實現,其他課程沒有辦法培養學生的審美情趣。( )

(16) 已知,求+的最小值.

解: ∵,∴令,

≥3+2.

∴當且僅當時,的最小值為3+2.

試說出: (1)此題涉及的主要知識點是 (2分)

(2)此題的解題過程用到的數學方法有 (2分)

(3)此題的解題思路體現的數學思想是 (1分)

三、綜合題:本大題共6小題,共70分。

(17)概率統計(本小題滿分12分)

甲乙兩隊參加奧運知識競賽,每隊3人,每人回答一個問題,答對者為本隊贏得一分,

答錯得零分。假設甲隊中每人答對的概率均為,乙隊中3人答對的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用ε表示甲隊的總得分.

(Ⅰ)求隨機變量ε分布列和數學期望;(4分)

(Ⅱ) 用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件,用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件,求P(AB)。(8分)

.(18) 空間幾何 (本小題滿分12分)

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,,E,F分別是BC, PC的中點.

(Ⅰ)證明:AE⊥PD; (4分)

(Ⅱ)若H為PD上的動點,EH與平面PAD所成最大角的正切值為,求二面角E—AF—C的余弦值。(8分)

(19)函數論(本小題滿分14分)

已知函數其中n∈N*,a為常數.

(Ⅰ)當n=2時,求函數f(x)的極值;(6分)

(Ⅱ)當a=1時,證明:對任意的正整數n,當x≥2時,有f(x)≤x-1。(8分)

(20)解析幾何(本小題滿分16分)

已知傾斜角為的直線過點和點在第一象限,

(1) 求點的坐標;(4分)

(2)若直線與雙曲線相交于兩點,且線段的中點坐標為,求的值;(6分)

(3)對于平面上任一點,當點在線段上運動時,稱的最小值為與線段的距離. 已知點軸上運動,寫出點到線段的距離關于的函數關系式。(6分)

(21)數學教學法(本小題滿分10分,請做100字左右的解答)

俗話說:一個良好的開端,等于成功的一半。因此,有經驗的老師都非常重視每節課的“導言”設計。好的設計能吸引學生的注意力。但新課的引入既要注重數學本質,又要注意適度形式化,引入合情合理,要注意直觀性、趣味性、啟發性和鋪墊性。請為高一數學上冊第三章《數列》的第三節“等差數列求和”一節設計一個“導言”。

(22)教師職業心理(本小題滿分6分,請選擇一題做60字左右的解答,兩題都答按照第一題記分)

1.有一位名人曾經說:如果把職業當成工作,那么你將一事無成,如果把職業當成事業,你將有所成就。你有怎么的理解?

2.在你的學生時代,你對教育存在著哪一種遺憾,如果你作為老師,你會怎樣讓學生遠離這種遺憾?

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