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[新]高考数学一轮复习专题四函数不等式中的恒成立问题?#38382;?#20316;业理

来源互联网 由 令译 贡献 责任编辑王小亮  
四函数不等式中的恒成立问题

1(2017年广东揭阳二模)已知函数f(x)g(x)|A2|sin x(xR)若对?#25105;?#30340;x1x2R都有f(x1)g(x2)则实数A的取值范围为()

A. B.

C. D.

2(2016年河北衡水调研)设过曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上?#25105;?#19968;点处的切线为l1总存在过曲线g(x)ax2cos x上一点处的切线l2使得l1l2则实数a的取值范围为()

A[1,2] B(1,2) C[2,1] D(2,1)

3(2014年辽宁)当x[2,1]时不等式ax3x24x30恒成立则实数a的取值范围是()

A[53] B.

C[62] D[43]

4设0a1函数f(x)xg(x)xln x若对?#25105;?#30340;x1x2[1e]都有f(x1)g(x2)成立则实数a的取值范围是________

5(2015年新课标)设函数f(x)e2xaln x.

(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数

(2)证明当a0时f(x)2aaln.

6已知f(x)2axln x在x1与x处都取得极值

(1)求ab的值

(2)设函数g(x)x22mxm若对?#25105;?#30340;x1总存在x2使得g(x1)f(x2)ln x2求实数m的取值范围

7已知函数f(x)ax2ln x(aR)

(1)当a时求f(x)在区间[1e]上的最大值和最小值

(2)如果函数g(x)f1(x)f2(x)在公共定义域D上满足f1(x)x22ax(1a2)ln xf2(x)x22ax.若在区间(1)内函数f(x)是f1(x)f2(x)的活动函数求实数a的取值范围

8(2014年天津)已知函数f(x)x2ax3(a0)xR.

(1)求f(x)的单调区间和极值

(2)若对于?#25105;?#30340;x1(2)都存在x2(1)使得f(x1)f(x2)1.求实数a的取值范围

专题四函数不等式中的恒成立问题

1C解析对?#25105;?#30340;x1x2R都有f(x1)g(x2)?f(x)maxg(x)min.注意到f(x)maxf(1).又g(x)|A2|sin xݣ|A2|故|A2|ݣ?|A2|?A.

2A解析?#27827;?#39064;意得?x1R?x2R使得(ex11)(a2sin x2)1即函数y的值域为函数ya2sin x2的值域的子集从而(0,1)?[a2a2]即a20a21?1a2.故选A.

3C解析关于x的不等式ax3x24x30可变形为ax3x24x3.当x0时0ݣ3故实数a的取值范围是R当x(0,1]时a恒成立记f(x)f(x)>0成立故函数f(x)单调递增f(x)maxf(1)6故aݣ6当x时a恒成立记f(x)f(x)当x[21)时f(x)<0当x(1,0)时f(x)>0.故f(x)minf(1)2故aܣ2.综上所述实数a的取值范围是[62]

4[1]解析f(x)1当0a1且x[1e]时f(x)0f(x)在区间[1e]上是增函数f(x1)minf(1)1a2.又g(x)1(x0)易求g(x)0g(x)在区间[1e]上是增函数g(x2)maxg(e)e1.由条件知只需f(x1)ming(x2)max.即1a2e1.a2e2.即a1.

5(1)解f(x)的定义域为(0)

f(x)2e2x(x>0)

当a0时f(x)>0f(x)没有零点

当a>0时设u(x)e2xv(x)

因为u(x)e2x在区间(0)内单调递增v(x)在(0)内单调递增

所以f(x)在(0)内单调递增

又f(a)>0当b满足0且b<时f(b)<0?#23454;a>0时f(x)存在唯一零点

(2)证明?#27827;?1)可设f(x)在区间(0)内的唯一零点为x0当x(0x0)时f(x)<0

当x(x0)时f(x)>0.

故f(x)在(0x0)上单调递减在区间(x0)内单调递增所以当xx0时f(x)取得最小值最小值为f(x0)

由于20

所以f(x0)2ax0aln2aaln.

?#23454;a>0时f(x)2aaln.

6解(1)f(x)2axln x

f(x)2a.

f(x)2axln x在x1与x处都取得极值

f(1)0f0.

解得ab.

当ab

f(x).

函数f(x)在x1与x处都取得极值

ab.

(2)由(1)知函数yf(x)ln xx在区间上单调递减

[f(x)ln x]minf(2).

又函数g(x)x22mxm图象的对称轴是xm.

当m<时g(x)ming依题意有ݣ成立m<.

m2时g(x)ming(m)mm2

mm2ݣ即6m26m70.

解得m.

m2m.

当m>2时g(x)ming(2)43m

43mݣ.m.又m>2m?.

综上所述m.

7解(1)当a时f(x)x2ln x

f(x)x.

对于x[1e]有f(x)>0

f(x)在区间[1e]上为增函数

fmax(x)f(e)1fmin(x)f(1).

(2)在区间(1)内函数f(x)是f1(x)f2(x)的活动函数则f1(x)令p(x)f(x)f2(x)x22axln x<0对x(1)恒成立

且h(x)f1(x)f(x)x22axa2ln x<0对x(1)恒成立

p(x)(2a1)x2a(*)

)若a>令p(x)0得极值点x11x2

当x2>x11即0

此时p(x)在区间(x2)内是增函数并且在该区间上有p(x)(p(x2))不合题意

当x2)若a则有2a10此时在区间(1)内恒有p(x)<0

从而p(x)在区间(1)内是减函数.

要使p(x)<0在此区间上恒成立

只需满足p(1)a0?aݣ

a.

又h(x)x2a<0h(x)在区间(1)内为减函数

h(x)2a0a.

综上所述实数a的范围是.

8解(1)由已知有f(x)2x2ax2(a0)

令f(x)0解得x0或x.

当x变化时f(x)f(x)的变化情况如下表

x

(ޣ0)

0

f(x)

0

0

f(x)

0

所以f(x)的单调递增区间是单调递减区间是(ޣ0).

当x0时f(x)有极小值且极小值f(0)0

当x时f(x)有极大值且极大值f.

(2)由f(0)f0及(1)知

当x时f(x)0

当x时f(x)0.

设集合A{f(x)|x(2)}

集合B.

则对于?#25105;?#30340;x1(2)都存在x2(1)使得f(x1)f(x2)1等价于A?B.显然0?B.

下面分三种情况讨论

2即0a时由f0可知

0A而0?B所以A不是B的子集

当12即a时有f(2)0且此时f(x)在区间(2)内单调递减故A(ޣf(2))因而A?(ޣ0)由f(1)0有f(x)在区间(1)内的取值范围包含(ޣ0)则(ޣ0)?B.所以A?B.

1即a时有f(1)0

且此时f(x)在区间(1)内单调递减故BA(ޣf(2))所以A不是B的子集

综上所述实数a的取值范围是.

考前的心理准备考前可通过心理暗示缓解紧张情绪进行临场心理调节紧张时可用我能?#23567;?#38745;心认真等自我暗示来稳定情绪?#23454;?#20570;做深呼吸放松?#37027;?#20943;少压力参加成考的学生需要将平时的家庭学校社会的压力全丢掉轻装上阵Coming back home in the evening, family and I sat and watched TV together, we are returning and eating the fruit while chatting, the whole family is happy and harmonious!考试要淡定拿到试卷后不要急于动笔先浏览试题粗略知道各题的难易分值后合理安排答题时间分值较小的题如果一时做不出来?#19978;?#25918;一放抢时间先做会做的题然后再回头考虑本题.I live very happily today! In the morning, it is very fine! Then I climb the mountain with family, the air on the mountain is very fresh, the flowers plants and trees on the mountain all seem extremely beautiful.

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